分层图最短路小记

发布于 2019-10-15  511 次阅读

分层图最短路，顾名思义，是一种在分层图下求最短路的方法。

一般模型是：

在图上，有k次机会可以直接通过一条边，问起点与终点之间的最短路径。

例题 JLOI2011 飞行路线 （洛谷P4568 )

题目描述

Alice和Bob现在要乘飞机旅行，他们选择了一家相对便宜的航空公司。该航空公司一共在nn个城市设有业务，设这些城市分别标记为00到n-1n−1，一共有mm种航线，每种航线连接两个城市，并且航线有一定的价格。

Alice和Bob现在要从一个城市沿着航线到达另一个城市，途中可以进行转机。航空公司对他们这次旅行也推出优惠，他们可以免费在最多kk种航线上搭乘飞机。那么Alice和Bob这次出行最少花费多少？

输入格式

数据的第一行有三个整数，n,m,kn,m,k，分别表示城市数，航线数和免费乘坐次数。
第二行有两个整数，s,ts,t，分别表示他们出行的起点城市编号和终点城市编号。
接下来有m行，每行三个整数，a,b,ca,b,c，表示存在一种航线，能从城市aa到达城市bb，或从城市bb到达城市aa，价格为cc。

输出格式

只有一行，包含一个整数，为最少花费。

解法一（DP）

还记得最短路么？

最短路的状态是这么转移的：

disi=min(disi,disfrom+w)

而在分层图最短路中，我们可以开一个二维的$dis_i,_j$，表示到起始节点到$i$号节点，已使用$j$次机会的代价。

于是我们便得到了这么一个状态转移方程：

disi,j=min(disfrom,j−1,disfrom,j+w)

代码大致和dijkstra差不多，我就只贴dijkstra的代码了。

代码大致如下：


struct Heap
{
    int u, v, now;
    bool operator<(const Heap &b) const
    {
        return v > b.v;
    }
};

inline void dijkstra(int x)
{
    dis[x][0] = 0;
    priority_queue<Heap> q;
    q.push((Heap){x, 0, 0});
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.top().u;
        int now = q.top().now;
        q.pop();
        if (vis[u][now]) //vis也要开二维
            continue;
        vis[u][now] = true;
        for (register int i = head[u]; i; i = edge[i].next)
        {
            int v = edge[i].to;
            if (!vis[v][now + 1] && now < k && dis[v][now + 1] > dis[u][now]) //使用免费机会
            {
                dis[v][now + 1] = dis[u][now];
                q.push((Heap){v, dis[v][now + 1], now + 1});
            }
            if (!vis[v][now] && dis[v][now] > dis[u][now] + edge[i].data) //不使用免费机会
            {
                dis[v][now] = dis[u][now] + edge[i].data;
                q.push((Heap){v, dis[v][now], now});
            }
        }
    }
}

解法二 不推荐 （真·分层图）

这种做法很好写，也很好理解，不过浪费时空：

一下是几张张评测时的图片：

做法一

做法二

思想大致是：

我们如果有k次免费的机会，那我们就建k层图。

各层内部正常连边，各层之间从上到下连权值为0的边。每向下跑一层，就相当于免费使用一次机会。

代码不太重要就不贴了其实不会写（，可以去Payphone—X同学的Blog康。

Code For JLOI2011

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define maxn 50005
#define endl '\n'
using namespace std;

struct node
{
    int to, next, data;
} edge[maxn << 1];

int head[maxn], num, n, m, k, s, t;
int vis[maxn][11], dis[maxn][11];

inline void add_edge(int from, int to, int data)
{
    edge[++num].next = head[from];
    edge[num].to = to;
    edge[num].data = data;
    head[from] = num;
}

struct Heap
{
    int u, v, now;
    bool operator<(const Heap &b) const
    {
        return v > b.v;
    }
};

inline void dijkstra(int x)
{
    dis[x][0] = 0;
    priority_queue<Heap> q;
    q.push((Heap){x, 0, 0});
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.top().u;
        int now = q.top().now;
        q.pop();
        if (vis[u][now])
            continue;
        vis[u][now] = true;
        for (register int i = head[u]; i; i = edge[i].next)
        {
            int v = edge[i].to;
            if (!vis[v][now + 1] && now < k && dis[v][now + 1] > dis[u][now])
            {
                dis[v][now + 1] = dis[u][now];
                q.push((Heap){v, dis[v][now + 1], now + 1});
            }
            if (!vis[v][now] && dis[v][now] > dis[u][now] + edge[i].data)
            {
                dis[v][now] = dis[u][now] + edge[i].data;
                q.push((Heap){v, dis[v][now], now});
            }
        }
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    cin >> n >> m >> k >> s >> t;
    for (register int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int x, y, v;
        cin >> x >> y >> v;
        add_edge(x, y, v);
        add_edge(y, x, v);
    }

    for (register int i = 0; i <= n; i++)
        for (register int j = 0; j <= k; j++)
            dis[i][j] = 2147482333;

    dijkstra(s);

    int ans = 2147482333;
    for (int i = 0; i <= k; ++i)
        ans = min(ans, dis[t][i]);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

END