NOIP2018货币系统题解

NOIP2018 TG DAY1 T2

筛法筛货币

题面

原题地址

在网友的国度中共有 $n$ 种不同面额的货币，第 $i$ 种货币的面额为 $a[i]$，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 $n$、面额数组为 $a[1..n]$ 的货币系统记作 $(n,a)$。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 $x$ 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 $x$，都存在 $n$ 个非负整数 $t[i]$ 满足 $a[i] \times t[i]$ 的和为 $x$。然而， 在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 $x$ 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 $n=3, a=[2,5,9]$ 中，金额 $1,3$ 就无法被表示出来。

两个货币系统 (n,a)和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 xx，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 $(m,b)$，满足 $(m,b)$ 与原来的货币系统 $(n,a)$ 等价，且 $m$ 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 $m$。

题目大意

给你n个货币,问你有最多有多少个货币可以被其他面额的货币表示出来,你需要精简这个货币系统.

题解

我们考虑用筛法做这题.

对于每一个货币.我们把他能表示出来的面额筛掉,如果我们筛掉的面额是货币的话,就更新答案,最后用总数$n-answer$就是我们要的答案了.

代码中有详细注释

CODE

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define endl '\n'
#define maxn 102
using namespace std;

int t, n;
int m[25005];

int main ()
{
    ios::sync_with_stdio (false);
    cin.tie (0);
    cout.tie (0);

    cin >> t;
    while (t--)
    {
        memset (m, 0, sizeof m);  //多测要清空
        int a[maxn], ans = 0;
        cin >> n;
        for (register int i = 1; i <= n; i++)
        {
            cin >> a[i];
            m[a[i]] = 2;  //2表示这个货币是已有的,1表示这个面额能被其他货币组合出来
        }
        sort (a + 1, a + n + 1);  //排一遍序,我们要从最小的开始筛
        for (register int i = 1; i <= a[n]; i++)
            if (m[i]) //如果他能被组合或已有
                for (register int j = 1; j <= n; j++) //把所有能表示出的货币筛掉
                    if (i + a[j] <= a[n]) //边界
                    {
                        if (m[i + a[j]] == 2) ans++;  //如果可以替换原有的就更新答案
                        m[i + a[j]] = 1;
                    }
        cout << n - ans << endl; //输出
    }
    return 0;
}

THE END